数学猜想(或称数学猜测、数学假设、数学问题等)是根据已知条件的数学原理对未知的量及其关系的似真推断，它既有逻辑的成分，又含有非逻辑的成分，因此它具有一定的科学性和很大程度的假定性；这种假定性命题是否正确，尚需通过验证和论证。科学界认为，数学猜想对于科学发展，尤其是数学进步的作用巨大的。
数学猜想通常由前提和结论两部分组成。它以已有的部分事实和正确的数学知识（公理、定理、公式等）为前提，以在前提的基础上作出的假定性的判断为结论。它可分为存在型猜想(如“费马猜想”)，状态型猜想(如“庞加莱猜想”)，关系型猜想(如“哥德巴赫猜想”)，方法型猜想(如“四色问题”)等。数学猜想是以一定的数学事实为根据，没有数学事实作根据，随心所欲地胡猜乱想得到的命题不能称之为“数学猜想”。
数学猜想通常是利用观察、类比、分析、归纳等方法提出的，或者是在灵感中、直觉中闪现出来的。例如，中国数学家、语言学家周海中根据已知的梅森素数及其排列，巧妙地运用联系观察法和不完全归纳法，于1992年正式提出了梅森素数分布的重要猜想(即“周氏猜测”)；美籍挪威数论大师、菲尔茨奖和沃尔夫奖得主阿特勒·塞尔伯格指出：“周氏猜测具有创新性，开创了富于启发性的新方法；其创新性还表现在揭示新的规律上。”
数学猜想是猜想者运用分析、综合、演绎尤其是类比、归纳等科学发现的思维方法，通过对数学对象和客观现象的洞察而预测新的数学事实与规律。创新性是其重要特征，没有创新，就谈不上数学猜想；创新是数学猜想的灵魂，它需要改变旧的思维方式、方法，突破固有的理论观点。数学猜想的创新性表现于揭示新的数学事实、预见新的数学规律。可见，创新性是数学猜想的一大特点，也是数学独特魅力的一种体现。
我们的数学猜测大多是从已有的经验作出的，但已有的经验并不一定是正确的；面对有说服力的证据，要勇于调整自己的观点，要敢于否定自己的观点。虽然我们有理由怀疑一切，去追根究底；也有理由去研究发现一切，追求普遍真理；但是，我们可以借鉴已有的经验，用它来指导我们的实践，不断深化对数学问题的认识。数学猜测作为一种创造性的思维活动，是数学研究的一种科学方法，也是数学发展的一种重要形式，还是认识世界的一种基本方式。
数学猜想有的被验证为正确的(如费马大定理、卡塔兰猜想、庞加莱猜想、林格尔猜想等)，并转化为定理，汇入数学理论体系之中，从而丰富了数学理论；有的被验证为错误的(如梅森猜想、欧拉猜想、费马数猜想、冯·诺伊曼猜想等)；还有一些正在验证过程中(如abc猜想、黎曼假设、杰波夫猜想、哥德巴赫猜想等)。可以说，数学猜想的解决对于数学进步所带来的影响，不仅在于猜想本身的被证明(证实))或证否(证伪)，解决数学猜想过程中所采用的创新研究方法，也是衡量数学进步水平的重大影响因子之一。
数学猜想一般都是经过对大量事实的观察、验证、类比、归纳、概括等而提出来的。这种从特殊到一般，从个性中发现共性的方法是数学研究的重要动力。数学猜想的提出与研究，生动地体现了辩证法在数学中的应用，极大地推动了数学方法论的研究；而数学方法对于数学的进步起着关键性的推动作用，许多比较困难的重大问题的解决，往往取决于数学概念和数学方法上的突破。可以说，数学方法已渗透到数学的各个分支并在数学研究中发挥着重要作用。
此外，数学猜想往往成为数学进步水平的一项重要标志，它的探究会带来新的数学内容，也会诱导出一些新的课题或猜想。例如：费马大定理产生了“理想数”概念，开创了代数数论；哥德巴赫猜想促进了筛法和圆法的发展，尤其是发现了殆素数、例外集合、小变量的三素数定理等；四色问题通过电子计算机得以解决，从而开辟了机器证明的新时代；黎曼假设不仅使素数定理得以证明，还使1000多个数学命题(以黎曼假设成立为前提)得以提出。从这个意义上讲，数学猜想不仅是一颗颗“璀璨艳丽的宝石”，而且是一只只“能生金蛋的母鸡”。
可见，数学猜想对于数学进步的作用巨大，而数学进步往往影响着一个国家的综合实力。对于数学猜想之于科学知识的作用，德国数学家卡尔·高斯有句名言：“若无某种大胆果敢的猜想，一般是不可能有知识进展的。”数学知识的进展往往会促进科学的发展，乃至唤起科学的革命。因此，数学猜想是推动科学发展的强大动力之一。许多科学家认为，数学猜想会造就一种独特的魅力，这种魅力会使它独树一帜，激发人们对它的探究兴趣。
何种数学猜想会造就独特魅力呢？前不久，荷兰数学家、物理学家罗贝特·捷格拉夫在《量子》杂志发表的“数学猜想的机巧艺术”一文中认为：一个具有魅力的猜想应该具备简洁性；它是一个有根据的猜测，而不是证明；它应该是“不平凡的”，也就是说，不容易被证明；提出猜想的人比终结它的人更重要；数学猜想的证明虽败犹荣。
数学史上充满着各种各样的猜想，伴随并且促进着数学的发展。年年都有不少数学猜想被提出，也有不少数学猜想被破解，还有一些重量级的猜想，让数学家们绞尽脑汁，但迄今尚未被破解；要想破解它们，不仅需要扎实的数学基础、过人的思维能力和顽强的拼搏精神，还需要对前人所做的种种尝试有全面系统了解。
学术界有个说法：全世界适合去攻克重要数学猜想的人不超过100个，那都是具有百分百天赋的数学家。许多数学猜想看似简单易懂，一般人都能理解，但实则内涵深邃无比，不可轻易触碰、盲目求解；否则就会做“无用功”，甚至浪费生命，花了大量的时间和精力，却没有得到任何有意义的结果。
众所周知，数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科；它既是关于已知的，又是关于未知的。数学猜想架起了从已知到未知的桥梁；而破解数学猜想，正是数学家们一直在追求的目标。数学猜想不仅丰富了数学的研究内容，而且促进了科学的全面发展。
文/彭冲（作者单位：德国斯图加特大学数学及物理学院）
